a)

a) Vì parabol đi qua M(1; 5) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình của parabol: 5 = a.1² + b.1 + 2.

Tương tự, với N(- 2; 8) ta có: 8 = a.(- 2)² + b.(- 2) + 2

Giải hệ phương trình: ta được a = 2, b = 1.

Parabol có phương trình là: y = 2x² + x + 2.

b) Giải hệ phương trình:

Parabol: y = x² - x + 2.

c) Giải hệ phương trình:

Parabol: y = x² - 4x + 2.

d) Ta có:

Parabol: y = 16x² + 12x + 2 hoặc y = x² - 3x + 2.

Hàm số đi qua \(A\left(8;0\right)\) nên: \(a.8^2+8b+c=0\)\(\Leftrightarrow64a+8b+c=0\).
Hàm số có đỉnh là: \(I\left(6;-12\right)\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=6\\6^2.a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12a+b=0\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\).
Vậy ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}64a+8b+c=0\\-b=12a\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-36\\c=96\end{matrix}\right.\).
Vậy : \(y=-3x^2-36x+96\).

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;12} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + 4 = 12\\a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + 4 = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 8\\9a - 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy parabol là \(y = 2{x^2} + 6x + 4\)

b) Hoành độ đỉnh của parabol là \(x_I = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Suy ra \(x_I = \frac{{ - b}}{{2a}} =  - 3 \Leftrightarrow b = 6a\)     (1)

Thay tọa độ điểm I vào ta được:

\(\begin{array}{l} - 5 = a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + 4\\ \Leftrightarrow 9a - 3b =  - 9\\ \Leftrightarrow 3a - b =  - 3\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta được hệ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - 6a =  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy parabol là \(y = {x^2} + 6x + 4\).

a) Theo giả thiết, hai điểm \(A(1;1)\) và \(B( - 1;0)\) thuộc parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 3\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + 3 = 1}\\{a - b + 3 = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{2}}\\{b = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y =  - \frac{5}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 3.\)

b) Parabol nhận \(x = 1\) làm trục đối xứng nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,b =  - 2a.\)

Điểm \(M(1;2)\) thuộc parabol nên \(a + b + 3 = 2\,\, \Leftrightarrow \,\,a + b =  - 1.\)

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 2a}\\{a + b =  - 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = {x^2} - 2x + 3\)

c) Parabol có đỉnh \(I(1;4)\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a + b + 3 = 4}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 2a}\\{a + b = 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y =  - {x^2} + 2x + 3.\)

A(1,3) thuộc đường thẳng y = ax + b, do đó:

3 = a.1+b ⇒ b = 3-a

B(-1,5) thuộc đường thẳng đó nên

5 = a.(-1) + b = -a + 3 - a ⇒ a = -1, b = 4

Câu 2 : \(f\left(x\right)=x^3-ax^2+bx-a\)

Áp dụng định lý Bezout ta có:

\(f\left(x\right)⋮\left(x-1\right)\)\(\Rightarrow f\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow1^3-a.1^2+b.1-a=1-a+b-a=0\)

\(\Leftrightarrow1-2a+b=0\)\(\Leftrightarrow2a-b=1\)(1)

\(\Rightarrow3\left(2a-b\right)=3\)\(\Rightarrow6a-3b=3\)(2)

\(f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\)\(\Rightarrow f\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow3^3-a.3^2+3b-a=27-9a+3b-a=0\)

\(\Leftrightarrow27-10a+3b=0\)\(\Leftrightarrow10a-3b=27\)(3)

Từ (2) và (3)

\(\Rightarrow\left(10a-3b\right)-\left(6a-3b\right)=27-3\)

\(\Leftrightarrow10a-3b-6a+3b=24\)

\(\Leftrightarrow4a=24\)\(\Leftrightarrow a=6\)

Thay \(a=6\)vào (1) ta có:

\(2.6-b=1\)\(\Leftrightarrow12-b=1\)\(\Leftrightarrow b=11\)

Vậy \(a=6\)và \(b=11\)

f(0) = 1

\(\Rightarrow\) a.0² + b.0 + c = 1 

\(\Rightarrow\) c = 1

Vậy hệ số a = 0; b = 0; c = 1

f(1) = 2

\(\Rightarrow\) a.1² + b.1 + c = 2

\(\Rightarrow\) a + b + c = 2

Vậy hệ số a = 1; b = 1; c = 1

f(2) = 4

\(\Rightarrow\) a.2² + b.2 + c = 4

\(\Rightarrow\) 4a + 2b + c = 4

Vậy hệ số a = 4; b = 2; c = 1

Chúc bn học tốt! (chắc vậy :D)